Para el tratamiento adecuado de este
tipo de incertidumbre ha introducido Zadeh la teoría de los conjuntos difusos
(Fuzzy Sets) , la cual, en poco tiempo, ha experimentado un sorprendente
desarrollo, con aplicaciones en múltiples disciplinas. Por lo que respecta a la
Ingeniería del conocimiento, la teoría de Zadeh resulta útil.
Al clásico y exclusivo tratamiento de
la incertidumbre mediante la teoría de la probabilidad opone Zadeh su Teoría de
la posibilidad para el tratamiento de lo difuso en cuanto distinto de lo
probable. Las objeciones de Zadeh van, no contra la axiomática probabilística,
sino contra la capacidad semántica de la probabilidad. Según él la teoría de la
probabilidad es incapaz de representar los significados de los enunciados con
predicados difusos (pequeño, joven, guapo, inteligente…), con cuantificadores
difusos (varios, la mayoría, bastantes,…), con probabilidades difusas
(verosímil, plausible, extraño, de vez en cuando,…), con valores de verdad
difusos (muy verdadero, bastante verdadero, más o menos verdadero…) y con
modificadores difusos (muy, aproximadamente, más o menos..) Como consecuencia
de lo anterior, la teoría de la probabilidad no tiene capacidad para extraer
inferencias de premisas difusas, por lo que ha de abandonar los problemas que
conllevan componentes difusos. Zadeh utiliza como regla de inferencia
fundamental en lógica difusa la llamada regla
de inferencia compositiva, cuyo esquema es:
X
es F
X está en relación G con Y
Y
es AL (F ó G)
En
donde F y G son relaciones difusas (monaria y binaria respectivamente); F ó G es su composición; y AL (F ó G) es una aproximación lingüística a la
relación difusa monaria F ó G. Por ejemplo:
p: X es Pequeño
q: X e Y son
aproximadamente iguales
r: Y es más o menos pequeño
Esta regla es de naturaleza semántica
(más bien que sintáctica como las de la lógica clásica): la conclusión, r, es
una inferencia aproximaa, que depende del significado de F y de G, por lo que
los procesos de inferencia en lógica difusa son, en su mayor parte, aproximados,
más bien que exactos. Ello no significa hacer impreciso lo preciso, sino buscar
modelos de la mayor precisión posible para el tratamiento de lo impreciso, no
concediendo a los conceptos mayor precisión de la que tienen, porque tales
concesiones pueden conducir, precisamente, a lo contrario de lo que se busca: a
paradojas como la “del montón” o la “del calvo”, a las que conduce
irremediablemente la lógica bivalente, pero que se disuelven en lógica difusa.
Cuando
se toma el concepto calvo como un concepto preciso susceptible de definición en
términos de lógica bivalente, se acaba con la famosa paradoja de Eubúlides:
(1) p= Un hombre sin pelo en la cabeza es calvo.
(2) q= Un hombre con un pelo más que un hombre calvo es
también calvo, o formulado de otro modo, si un hombre con n pelos en la cabeza
es calvo, entonces un hombre con n+1 pelos en la cabeza es calvo.
(3) r= Un hombre con un millón de pelos en la cabeza es
calvo.
La
demanda de precisión y la bivalencia nos conducen inexorablemente a la
paradoja. Según la lógica difusa calvo sería un predicado difuso caracterizado
por su función de pertenencia gradual que actúa como un cierre elástico sobre
los valores abribuibles a la variedad asociada con calvicie.
La noción de difuso aparece en 1965 cuando Zadeh
comienza a desarrollar la teoría de los conjuntos difusos o borrosos.
La idea inicial es la siguiente: Los
elementos clave en el pensamiento humano no son números, sino rótulos
(marcadores) de conjuntos difusos, clases de objetos en los que la transición
de la pertenencia a la no pertenencia es muy gradual, má bien que abrupta. Por
ejemplo, muy atractiva, muy hermosa, muy listo, listillo, muy astuto, muy
inteligente, grande, aproximadamente mediano,, etc. Tales conjuntos vienen determinados, no como los conjuntos en
sentido clásico, por una definición extensional/intensional, mediante la cual
sus elementos tienen garantizada, y por igual, su pertenencia, sino por
referencia a un contexto, por un procedimiento semántico más que sintáctico;
quedan determinados por referencia a dominios específicos (locales). Y cada
elemento puede tener grados intermedios de pertenencia en el intervalo
[0,1]. La innegable realidad de lo
difuso en los procesos del pensamiento humano sugiere que buena parte de la
lógica propia del razonamiento humano no es la lógica tradicional bivalente o
incluso polivalente, sino una lógica con valores de verdad difusos, con
conectivas difusas y con reglas de inferencia difusas.
En la lógica difusa los valores de
verdad son no numéricos, sino lingüísticos, los cuales constituyen a su vez
conjuntos difusos; pueden ser generados por una gramática y pueden recibir un
significado reintroduciendo los grados de pertenencia.
Una lógica difusa LD puede ser
considerada, en parte, como una extensión difusa es una lógica polivalente
no-difusa que constituye la lógica base para LD. Zadeh utiliza como lógica base
la lógica Lω1, cuyos valores de verdad son números reales del intervalo [0.1],
y con las siguientes definiciones:
V(¬p)=
def. 1- v(p)
V(p
v q)= def. máx. (v(p), v(q))
V
(p ^ q) =def. mín. (v(p), v(q)
V
(p→q)= def. mín. (1,1 – v(p)+ v(q)
En
donde v(p) denota el valor de verdad de la proposición p; ¬, v, ^ y → denotan
respectivamente, la negación, la disyunción (no exclusiva), la conjunción y la
implicación.
Los valores de verdad de LD son
lingüísticos, esto es, vienen expresados en términos marcados lingüísticamente
y denotando cada uno de ellos no una unidad (o un punto o elemento) sino un
subconjunto difuso.
La
regla de inferencia compositiva es, en lógica difusa la regla de inferencia
básica. Y es de naturaleza semántica más bien que sintáctica, como las de la
lógica clásica.
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