1.
Introducción.
Nos proponemos modestamente en este artículo-ensayo
realizar una exposición acerca de algunas de las diversas concepciones
filosóficas que se han dado en torno a la naturaleza de qué cosa sean las matemáticas.
De paso introduciremos la tesis del materialismo ontológico formalista acerca
de la naturaleza de las matemáticas. Por esta razón intentaremos presentar
también un análisis gnoseológico de las Matemáticas.
En las
clasificaciones usuales de las ciencias, las Matemáticas son consideradas como
ciencia formal junto con la Lógica y ello frente a las ciencias naturales y a
las ciencias humanas. Sin embargo, estas
clasificaciones carecen de criterios rigurosos, claros y distintos derivados de
una verdadera Idea de ciencia que permita separar lo que es ciencia de lo que
no lo es y separar las ciencias formales de las que no lo son así como las
ciencias naturales de las ciencias humanas.
Es
menester entonces disponer de una Idea de “ciencia” que posibilite un análisis
gnoseológico o metacientífico riguroso de las Matemáticas. Aquí vamos a
utilizar la teoría del cierre categorial elaborada por el prof. Gustavo Bueno.[1]
2.
Las Matemáticas según I.
Kant (1724-1804).
2.1. El
Estado de la cuestión en Kant.
La importancia de Kant en la historia de la
filosofía de las Matemáticas es enorme. Ciertamente, Kant no publicó en vida
ningún tratado sistemático acerca de la filosofía de las Matemáticas. Sin
embargo, creemos que toda su obra en
filosofía teorética viene condicionada por la problemática de la naturaleza de
las Matemáticas. Por ello, atacará incluso a los matemáticos porque según él
“apenas han filosofado jamás sobre sus matemáticas (tarea nada fácil)”[2].
Los juicios sintéticos a priori son los que
posibilitan las Matemáticas. La tarea de la Crítica de la Razón Pura se
centrará desde el comienzo en establecer las condiciones de posibilidad de
estos juicios y por ello, de las Matemáticas.
En el racionalismo y en el empirismo todo
conocimiento se dividía entre las verdades de razón y las verdades de hecho.
Decía Leibniz:
“Asimismo hay dos clases de
verdades, las de razón y las de hecho. Las verdades de razón son necesarias y
su opuesto es imposible, y las de hecho son contingentes y su opuesto es
posible. Cuando una verdad es necesaria se puede hallar su razón por medio de
análisis, resolviéndola en ideas y verdades más simples, hasta que se llega a
las primitivas”.[3]
Estos asertos acerca de tal división de las verdades en verdades
de razón y verdades de hecho se continúan lógicamente cuando Leibniz vuelve a
afirmar lo siguiente:
“Y se dan, finalmente, ideas simples, de las que no cabe dar
definición. También hay Axiomas y Postulados o, en una palabra, principios
primitivos, que no pueden probarse ni necesitan prueba; son éstos las
Enunciaciones idénticas cuyo opuesto encierra una contradicción expresa.”[4]
Kant al principio estaba influido por el
racionalismo continental escolar de Leibniz-Wolff. Hume será quien despierte a
Kant del sueño dogmático. El dogmatismo racionalista continental no es otra
cosa que “la pretensión de avanzar con puros conocimientos conceptuales (los
filosóficos) conforme a unos principios –tal como la razón los viene empleando
desde hace mucho tiempo-, sin haber examinado el modo ni el derecho con que
llega a ellos”.[5]
Sin embargo, también Hume mantiene la
dicotomía entre relaciones de ideas (verdades de razón) y cuestiones de hecho
(verdades de hecho). Dice pues Hume que “todos los objetos de la razón o de la
investigación humana pueden dividirse naturalmente en dos clases, a saber,
relaciones de ideas y cuestiones de hecho. De la primera clase son las Ciencias
de la Geometría, el Álgebra y la Aritmética y, en pocas palabras, toda
afirmación que sea o bien intuitiva o bien demostrativamente cierta. (…) El
contrario de toda cuestión de hecho es siempre posible, porque no puede
implicar nunca una contradicción.”[6]
Las relaciones de ideas
son para Hume ciertas y evidentes, al igual que lo eran para Leibniz las
verdades de razón.
Para Kant los conceptos sin intuiciones
son vacíos y las intuiciones sin conceptos son ciegas. Se trata pues, de
realizar una síntesis entre intuición y concepto, entre sensibilidad y
entendimiento. La filosofía crítica se distancia igualmente de la metafísica y
del escepticismo.
Además se plantea el problema de que en
el razonamiento matemático hay una fase de singularización. Esto es, se
requiere de un elemento singular, individual pero ello no obsta para que el
razonamiento sea universal. Descartes planteó el problema en el siglo XVII
admitiendo la necesidad de la figura singular y material en el proceso
demostrativo matemático. Así pues, había una necesidad de particularización que
diferenciaba el razonamiento matemático del silogístico.
Descartes sostiene que
el objeto matemático posee una cierta naturaleza o esencia determinada por la
figura que es inmutable y eterna, independiente de la subjetividad[7].
La esencia de ese objeto es la que constituye el objeto de la intuición matemática.
Las matemáticas se captan por intuición intelectual.
Los empiristas en cambio, rechazan
la intuición intelectual y sólo admiten la intuición empírica. Según Locke, el
objeto matemático no es más que un concepto general. La figura matemática
singular permite alcanzar un concepto general.
George Berkeley es quien llega a
plantear con nitidez el problema. Este problema comprende dos problemas:
-Justificar la necesidad de que intervenga, en la demostración
matemática, ese elemento particular, sea figura u operación concretas;
justificar la necesidad de esta fase de particularización.
-Explicar cómo, a pesar de esa particularización, el
razonamiento matemático da paso a una conclusión universal; justificar la fase
de universalización.
Estos dos problemas siguen
vigentes hoy en la reflexión metamatemática. Kant dio respuestas a tales
problemas. Al primero lo convirtió en condición de posibilidad del
conocimiento. El sujeto hace intervenir en la intuición pura la representación
material del objeto concordante con el concepto, representación singular que es
la única manera de dotar de validez objetiva a dicho concepto. Con esta
admisión, a la vez se pretende dar solución a otro problema, el existencial
ontológico.
El segundo problema lo
resuelve gracias a los esquemas trascendentales de la imaginación. El esquema
media entre la sensibilidad y el concepto. Por ello lo sensible alcanza la
universalidad del concepto.
2.2.
La solución kantiana.
Kant va ejercitar una
filosofía constructivista de la razón y por tanto, de las matemáticas. Es la
vieja tesis de Giambattista Vico “verum est factum”. La razón sólo reconoce lo
que ha hecho ella. El hombre sólo puede conocer sus obras porque precisamente
son suyas. La razón sólo va a reconocer lo que ella misma ha construido. “la
razón sólo reconoce lo que ella misma produce según su bosquejo”[8]
Distingue Kant entre juicios
sintéticos y juicios analíticos. Los juicios sintéticos son aquellos en los que
el concepto del predicado no está incluido en el concepto del sujeto. Los
juicios analíticos son aquellos en los que el concepto del predicado viene
incluido en el concepto del sujeto, de tal manera que los juicios analíticos
son juicios de identidad, como en A=A. No salimos del sujeto en absoluto.
Por otro lado, los juicios
pueden ser a priori y a posteriori. A priori significa lógicamente
independiente de la experiencia y a posteriori derivado de la experiencia.
Combinando las dos clasificaciones tenemos los siguientes resultados: 1º Los juicios
analíticos tienen que ser forzosamente a priori. La analiticidad no depende de
la experiencia. Wittgenstein y el Neopositivismo dirán que son tautologías. 2º
Los juicios sintéticos en principio son a posteriori. De hecho, hay juicios
sintéticos a priori. Leibniz y Hume sostenían que todos los juicios sintéticos
eran a posteriori, verdades de hecho o matters of fact. La originalidad de Kant
estribará en que 3º Hay juicios
sintéticos a priori. Si todo juicio sintético fuese a posteriori, empírico, ningún
juicio sintético tendría validez universal y necesaria, pues la experiencia no
suministra necesidad ni universalidad, sino sólo hechos particulares y
contingentes. Sólo puede haber ciencia, a decir de Kant si hay juicios
sintéticos a priori. El problema que pone en marcha a la Crítica de la Razón
Pura es la pregunta ¿cómo son posibles los juicios sintéticos a priori? Ahora
bien, como Kant parte del faktum de la existencia de la Matemática y de la
Física, concluye que si la ciencia sólo es posible si hay juicios sintéticos a
priori, entonces la Matemática y la Física deberán contener juicios sintéticos
a priori necesariamente para ser ciencias, dado que lo son.
Las verdades matemáticas son
entonces juicios sintéticos a priori. Son juicios a priori porque tienen
validez universal y necesaria: la demostración de que la suma de los ángulos de
un triángulo es de dos rectos nos convence absolutamente (no cabe la menor duda
al respecto) y ello no sólo de que ello es así de hecho en los triángulos que
empíricamente hayamos trazado, sino de que tiene que ser así en todos los
triángulos posibles. También son sintéticas las verdades matemáticas.
Aparentemente esto significa negar que tales juicios sean verdades de razón en
el sentido de Leibniz. Una construcción matemática es, para Kant como para
Leibniz, a priori y sus propiedades son necesarias, no verdades de hecho. Sin
embargo, para Kant esta necesidad no reside en el concepto, sino en la
intuición. Para Leibniz, que la suma de los ángulos de un triángulo es dos rectos
está incluido (distintamente o confusamente, según que tengamos o no la
demostración) en el concepto mismo de triángulo. Kant, en cambio, diría que por
más vueltas que demos a la definición de triángulo, y a la definición de cada
una de las notas que entran en esa definición, etc., jamás encontraremos
ninguna nota referente a la suma de los ángulos; la demostración de ese teorema
no se obtiene analizando el concepto de triángulo, sino construyendo en la
intuición un triángulo y “haciéndo”, también en la intuición, sobre él
determinadas operaciones de las que “vemos “ que podrían hacerse igualmente
sobre cualquier otro triángulo; si el teorema es una verdad necesaria es porque
esa construcción tiene lugar en la intuición pura del espacio, por lo tanto sin
dependencia de nada empírico.
Incluso la más simple
operación aritmética es un juicio sintético. Sea el juicio 5+7=12. Si tomamos
5+7 como un concepto y tratamos de enunciar las notas que lo definen y las
notas que definen estas notas, etc., en esto no aparece por ningún lado 12. 12
aparece como resultado, cuando hacemos la operación, esto es: cuando
realizamos, no un análisis de conceptos, sino una construcción en la intuición.
El concepto de suma expresa el tipo de construcción que hemos de hacer; 5 y 7
son los datos para realizar esa construcción; pero hay que hacerla
efectivamente para obtener el resultado. El verdadero fundamento de validez de
la tabla de sumar reposa no en meros conceptos sino en la construcción en la
intuición.
Además, la importante
distinción kantiana entre pensar y conocer posibilita el que haya conceptos no
representables en figuras espaciales. Existen pensamientos posibles lógicamente
pero que no pueden alcanzar el nivel de conocimiento objetivo en la intuición.
“El que un concepto semejante se halle libre de toda contradicción, es una
condición lógica necesaria. Pero ello no basta, ni de lejos, en relación con la
realidad objetiva del concepto, es decir, con la posibilidad de un objeto como
el pensado a través del concepto. Así, el concepto de una figura encerrada
entre dos rectas no implica contradicción alguna, ya que los conceptos de dos
rectas y su cruce no implican la negación de ninguna figura. La imposibilidad
no descansa en el concepto como tal, sino en la construcción de tal figura en
el espacio, es decir, en las condiciones del espacio y de la determinación de
éste “.[9]
El pensar como posibilidad
lógica necesita coherencia y consistencia. Pero aunque es condición necesaria,
aún no lo es suficiente para pasar a ser conocimiento. Sólo gracias a la
configuración de la representación en la intuición ya sea sensible o pura, de
un fenómeno o de un esquema trascendental de la imaginación, ese pensar pasa a
ser conocimiento con validez objetiva.
Parece
ser que eso es lo que ha ocurrido en la matemática. Han surgido conceptos y
teorías que no tenían representación. Por ello, desde esto que hemos afirmado,
cabe admitir la existencia de sistemas
formales tales como las geometrías no euclidianas. Construidas como
pensamientos puros, como sistemas formales, sólo les falta la representación en
la intuición pura, una imagen para que tales sistemas formales pasen a ser
conocimiento objetivo.
Esto
es lo que los matemáticos han logrado gracias a la construcción de modelos
geométricos en el siglo XIX. Precisamente en uno de ellos se verifica, se tiene
la representación del ejemplo mencionado como imposible por Kant.
El
ejemplo de espacio encerrado entre dos rectas viene representado hoy día en la
Geometría elíptica doble. Este sistema geométrico doble elíptico sería una
representación y esto daría significado
al sistema formal constituido y este sistema de geometría se convertiría así en
sistema de conocimiento. Se pasaría así del pensar al conocer. Por ello la
posición kantiana no sería incompatible con las geometrías no euclídeas, de
cualquier sistema formal por el mero hecho de no ser contradictorio, aunque el
mismo careciera de imagen o de representación intuitiva o construcción en la
intuición pura.
Podríamos
decir que el espacio en Kant no es ni euclídeo ni métrico no-euclídeo, ni
siquiera métrico o no métrico. Pero es que podemos conjeturar que tal vez el
espacio kantiano no signifique lo mismo que el espacio matemático. No es, como
dice Kant, un concepto, sino una intuición pura, una forma pura de la
sensibilidad trascendental. Y por eso mismo, por no ser un concepto, no puede
predicarse de él que sea euclidiano o no-euclidiano.
Por
eso es posible construir espacios geométricos de cualquier tipo de estructura
pero esta posibilidad se hace real, pasa de ser pensamiento a conocimiento
cuando se presentan las condiciones de representación de los fenómenos en la
intuición pura. Si aceptamos la sugerencia que se advierte en la obra kantiana
que versa sobre la diferencia entre posibilidad lógica y posibilidad real o
lógico-trascendental, esto último podría aceptarse.
Sin
embargo, esta sugerencia es incompatible con la concepción epistemológica
kantiana de que el conocimiento es un acto sintético de sensibilidad o
intuición y entendimiento. Por ello, para Kant los sistemas formales pensados y
no construidos en la imaginación serían vacíos y carentes de valor
cognoscitivo.
Desde
la lógica trascendental kantiana, los sistemas formales no serían conocimiento
alguno pues necesitarían construirse en la intuición.
Cualquier
modelo que se elabore de las geometrías no euclídeas será un modelo construido
en un espacio euclídeo, porque el sujeto cognoscente no se puede salir de él.
Para
Kant, la Matemática se centra en el estudio del espacio y del tiempo como
formas a priori de la intuición. Según Kant, “Las matemáticas ofrecen el más
brillante ejemplo de una razón que consigue ampliarse a sí misma, sin ayuda de
la experiencia.”[10] El
conocimiento matemático “es un conocimiento obtenido por construcción de los
conceptos”[11]
En el
campo de la sensibilidad, la Matemática como uso constructivo de la razón
consiste en:
“determinar una intuición a priori en el espacio
(figura); dividir el tiempo (duración); conocer simplemente el elemento
universal de la síntesis de una misma cosa en el espacio y en el tiempo, así
como la magnitud a que ello da lugar en una intuición en general (número).”[12]
Entonces
la matemática es el estudio de las magnitudes extensivas. Kant entonces es muy
tradicional en Matemáticas. La Geometría se ocupa de construir intuiciones en
el espacio; la Mecánica de construir en el tiempo; la Aritmética y el Álgebra
juegan con la intuición conjunta y simultánea de espacio y tiempo respecto a
las magnitudes.
Lo más
importante es el aspecto constructivista de la matemática según Kant. Afirma
pues que,
“No podemos pensar una línea sin trazarla en el
pensamiento, ni un círculo sin describirlo, como tampoco representar tres
dimensiones del espacio sin construir tres líneas perpendiculares a partir del mismo
punto. Ni siquiera podemos pensar el tiempo sino gracias a que, al trazar una
línea recta (que ha de ser la representación externa y figurada del tiempo),
sólo atendemos al acto de síntesis de la diversidad […]. Es el movimiento, como
acto del sujeto, no como determinación de un objeto y, consiguientemente, la
síntesis de la diversidad en el espacio, lo que produce el mismo concepto de
sucesión cuando hacemos abstracción del espacio y atendemos sólo al acto a
través del cual determinamos el sentido interno según su forma”.[13]
Para
Kant, pues, no hay en la Matemática, deducción formal, sino construcción
derivativa. La Matemática es un permanente proceso constructivo en la
intuición. La Matemática es síntesis, no análisis.
La
construcción en la intuición, en la imaginación productiva es siempre la de un
objeto singular, concreto y sin embargo, la Matemática es un conocimiento
universal y necesario. Para resolver esta dificultad Kant acude a la noción de
esquema. El esquema es una regla de construcción o método. Es la mediación
entre la intuición y el concepto. El proceso constructivo matemático lo que
maneja es el esquema que posibilita las figuras en el espacio y las operaciones
sensibles.
Gracias
al esquema se procura una imagen a un concepto. Sin embargo, no puede
identificarse esquema e imagen o pintura: “si escribo cinco puntos
seguidos….tengo una imagen del número cinco. Si, por el contrario, pienso
simplemente un número en general, sea el cinco, sea el cien, tal pensar es un
método para representr, de acuerdo con cierto concepto, una cantidad (mil, por
ejemplo) en una imagen, más que esa imagen misma…”[14]
Según
Kant, el número es un esquema de la sensibilidad trascendental para llevar a
cabo una imagen. Entonces “el esquema puro de la magnitud (quantitas),
entendida como concepto del entendimiento, es, en cambio, el número, el cual
constituye una representación que comprende la sucesiva adición de unidades
homogéneas. El número no es, pues, otra cosa que la unidad de síntesis de lo
diverso de una intuición homogénea en general, unidad obtenida al producir yo
el tiempo mismo en la aprehensión de la intuición”.[15]
El número se fundamenta en la repetición y, por tanto, en el tiempo.
Carece
de sentido entonces hablar de las propiedades generales de los números o de la
sucesión de los números. Desde la posición kantiana es imposible plantear el
principio de la inducción completa. El número no es objeto ni concepto, sino
regla o esquema o método.
Los
conceptos de la Aritmética y el Álgebra se construyen, como los de la
Geometría, pero son conceptos que corresponden a relaciones entre magnitudes.
Así, el Álgebra y la Aritmética serían disciplinas secundarias, calculísticas,
algorítmicas.
Para
Kant los “Elementos” de Euclides y los “Principia Mathematica Philosophiae
Naturalis”. de Newton son los paradigmas de la exposición metódica y del
conocimiento científico de cualquier disciplina que haya entrado en el seguro
camino de la ciencia. Sólo la Matemática usa axiomas, definiciones y
demostraciones. Dice así: “Sólo las
matemáticas poseen demostraciones, debido a que su conocimiento no deriva de
conceptos, sino de la construcción de los mismos, es decir, de la intuición que
puede darse a priori en correspondencia con los conceptos.”[16]
Definir
matemáticamente significa construir sintéticamente conceptos. La definición ha
de ser producida sintéticamente, no analíticamente.
Kant
es el iniciador en filosofía de la matemática del constructivismo. Esta línea
la continúan en el siglo XX algunos matemáticos como Poincaré o Brouwer. Kant
margina del hacer matemático el Análisis, el cálculo infinitesimal, donde
aparece el concepto de función, concepto desconocido para Kant.
Siguiendo
a Javier de Lorenzo, autor a partir del cual estamos reconstruyendo y
exponiendo la filosofía de la Matemática de Kant, podemos afirmar “que hay dos
matemáticas diferentes, una de carácter finitista, figural y constructivista, y
otra de carácter existencial, global, finitista.”[17]
2.3. Acerca
de la relación entre la filosofía kantiana de la matemática y las teorías
contemporáneas.
El
punto central del debate filosófico metamatemático radica aún en la cuestión de
si las proposiciones de la matemática son analíticas, como creían Leibniz y
Hume, o sintéticas, como pensaba Kant.
2.3.1. El
logicismo de Frege y Russell.
Bertrand Russell, uno de los fundadores del logicismo[18]
afirmó en su “Introduction to Mathematical Philosophy” (1919) que la tendencia
central de la matemática contemporánea refuta a Kant. En este mismo año publica
con A.N. Whitehead los “Principia Mathematica”, una reducción de la matemática
a lógica. No existe así ninguna diferencia esencial entre las matemáticas y la
lógica. Ambas son analíticas y por tanto, no tienen contenido material alguno.
Russell intentó demostrar que la matemática se deriva de la lógica. El punto de
vista de Russell, como el de Frege, es que los axiomas que es preciso admitir
(los cuales son axiomas de la propia lógica pura) se justifican porque son
verdad absoluta, esto es: evidencia que no deja lugar a duda. Kant había
establecido que los juicios de la matemática son sintéticos, lo cual quiere
decir que no pueden reducirse a la lógica.
Antes de Russell, fue Frege quien inició la senda logicista. Frege creía
que su intento de realizar una
fundamentación puramente lógica de la aritmética conduciría a rechazar la tesis
kantiana por lo que se refiere a la aritmética (no a la geometría, de la
que Frege cree que se basa en la
intuición del espacio). Pues bien, en 1902, cuando Frege ya había entregado a
la imprenta el segundo volumen de sus Grundgesetze der Arithmetik; el volumen
primero había aparecido en 1893; el tercero, proyectado, no llegó a aparecer,
recibió una comunicación de Bertrand Russell en la que se le advertía acerca de
la antinomia referente al “conjunto de todos los conjuntos que no se tienen a
sí mismos por elementos”. Frege escribió entonces rápidamente un apéndice para
su obra; en él reconocía que una contradicción inherente al manejo de
“predicados de predicados” atacaba a la posibilidad misma de una fundamentación
puramente lógica de la aritmética. Frege murió en 1925 convencido de que Kant
tenía razón y ello a pesar de que ya en 1908 Russell había presentado una
restricción de procedimiento que permitía evitar la antinomia denunciada por él
mismo; lo que hizo Russell fue considerar que a cada predicado le pertenece un
“tipo” que consiste en la determinación de la índole de cada uno de sus lugares
vacíos, a saber, si cada uno de éstos ha de ser llenado por un objeto
individual o por un predicado y, en caso de que por un predicado, cuál ha de
ser el tipo de éste, es decir: si cada uno de sus lugares vacíos, a su vez ha
de ser llenado por un objeto individual o por un predicado y, si por un
predicado, de nuevo cuál ha de ser su tipo, etc.; incluso cada variable
predicado tiene un tipo determinado, no variable. La sustancia de la teoría es
que se considera prohibido llenar los lugares vacíos de un predicado de otro
modo que el que corresponde a su tipo; toda fórmula que viole esta teoría se
considera no falsa, sino sinsentido.
2.3.2. El
formalismo de David Hilbert.
David
Hilbert por su parte es el fundador del formalismo en matemática. Distingue
entre lo que llama teorías matemáticas formalizadas y la metamatemática, es
decir, el estudio de aquéllas. Una teoría matemática formalizada consiste en
(a) signos análogos al vocabulario de un lenguaje, pero que se consideran
abstraídos de su significado; (b) normas para la combinación de esos signos en
fórmulas, que son análogas a frases; (c) normas para la transformación de las
fórmulas en nuevas fórmulas, proceso análogo a la deducción. Los aspectos
físicos de la teoría formalizada son considerados como irrelevantes. La validez
de un sistema axiomático no reside en otra cosa que en las condiciones formales
internas del sistema mismo, esto es: en que el sistema contenga todo lo
necesario y nada más que lo necesario para determinar unívocamente y
exhaustivamente ciertas expresiones como deductibles y las demás como no
deductibles.
Un
sistema axiomático debe ser compatible o consistente y ello no porque los
axiomas hayan de ser verdaderos y por ello no contradecirse entre sí, sino
porque un sistema que permitiese deducir p y ¬p permitiría deducir cualquier
expresión y, por lo tanto, no permitiría distinguir entre lo deducible y lo no
deducible.
La
“independencia” de un sistema formalizado o axiomático consiste para el
formalismo en que no puede suprimirse nada de dicho sistema sin que expresiones
que eran deducibles dejen de serlo. Por lo que se refiere a la “completitud”,
su definición no formalista para un sistema axiomático en el cálculo lógico,
sería: que todas las expresiones universalmente válidas sean deductibles en el
sistema en cuestión; ahora bien, esta definición supone que hay al menos la
posibilidad de alguna instancia exterior al sistema mismo para determinar qué
expresiones son universalmente válidas; lo cual puede formalísticamente
admitirse para el cálculo de proposiciones (donde hay, en efecto, un
procedimiento formal para, ante una expresión dada, determinar si es o no
universalmente válida, sin necesidad de deducirla, y donde, por lo mismo, el
papel del sistema axiomático es subsidiario), pero no para el cálculo de
predicados; en consecuencia, el formalismo establece otro concepto, el
“riguroso” de la completitud, a saber: que la adición de cualquier nuevo axioma
(que no será una fórmula deductible en el propio sistema, en cuyo caso se
pecaría contra la independencia) convertiría al sistema en inconsistente. Lo
que ocurre es que, de hecho, los sistemas
axiomáticos formalistas para el cálculo lógico de predicados no son completos
en este sentido “riguroso”, sino en el sentido “común” de que puede demostrarse
que toda expresión no deductible no es universalmente válida, esto es: que
(puede demostrarse que) para toda expresión no deductible existe en algún campo
de objetos alguna substitución de las variables mediante la cual resulta el
valor falso; y naturalmente, esto no se demuestra por el propio sistema
axiomático, sino que se demuestra como se puede.
El
formalismo, a diferencia del logicismo, no pretende reducir la axiomática de
las matemáticas a la de la lógica pura (es decir: a la de la lógica de
predicados), sino que tiene otro recurso mejor para defender el carácter
puramente lógico o analítico de las matemáticas: los axiomas específicos
relativos a determinados objetos no son, para el formalismo proposiciones
verdaderas, sino que son la definición de los objetos de que se trata.
Una
teoría formalizada es, pues, una forma particular construida que guarda gran
similitud con las construcciones apriorísticas kantianas. Más aún, así como en
Kant las aseveraciones de la matemática son sobre alguna cosa, a saber, el
espacio y el tiempo o las construcciones hechas en ellos, así igualmente las
aseveraciones metamatemáticas de Hilbert versan sobre teorías formalizadas. El
punto de vista de la aritmética de Hilbert y el de Kant guardan una similitud
muy íntima. En uno de sus más conocidos ensayos[19]
dice: “Pensemos en la naturaleza y método de la teoría común y finita de los
números”, lo que equivale a decir aritmética sin suposiciones sobre totalidades
infinitas. “Esta teoría puede establecerse, sin duda alguna, solamente a través
de construcciones numéricas mediante consideraciones intuitivas no formalistas
(inhaltliche)”. Es ésta una idea kantiana.
Mayor
es la diferencia que hay entre la exposición de la geometría de Hilbert y la de
Kant. Porque Hilbert conocía algo que desconocía Kant, a saber, que mientras
sólo existe una teoría finita de los números, hay, en cambio, muchas geometrías
entre las que la geometría euclídea no es forzosamente la más apropiada para
describir el mundo físico.
2.3.3. El
intuicionismo de Brouwer.
Por su
parte el intuicionismo matemático de Brouwer considera que los juicios matemáticos
no son analíticos, sino sintéticos como Kant sostenía. Brouwer recurre
sistemáticamente a Kant. En su ensayo sobre “Intuicionismo y formalismo”[20]
afirma Brouwer que mientras había abandonado la aprioridad del espacio se había
adherido de forma resuelta a la aprioridad del tiempo. El fenómeno fundamental
del pensamiento matemático es “la intuición de la pura unidad-dualidad. Esta
intuición de la unidad-dualidad, la intuición básica de las matemáticas, crea
no sólo los números uno y dos, sino también todos los números ordinales
finitos…” Está claro que esta intuición creativa guarda una estrecha relación
de parentesco con la construcción kantiana de los números en el tiempo.
3.
Teoría del cierre categorial
.
Según la teoría del cierre
categorial de Gustavo Bueno Martínez (n. en 1924), una ciencia no se puede
definir por su objeto formal tal y como ocurría con la escolástica. La ciencia
se define por su campo de operaciones y este campo comprende una multiplicidad
de objetos materiales heterogéneos dados fisicalistamente a escala tecnológica
humana. La ciencia es construcción material, quirúrgica de objetos y
realidades. La ciencia produce y construye al mundo que nos rodea. La ciencia
tiene más que ver con la ontología que con la epistemología, más con el ser que
con el conocer y con la teoría del conocimiento (Erkenntnistheorie). En esta
gnoseología, que en el fondo es una ontología de la ciencia, teniendo a su vez
en cuenta que la ciencia es una forma de ontología regional específica, una
continuación de la ontología al subrayar su aspecto productor de realidades. La
ontología descansa en la gnoseología e, inversamente, la gnoseología supone un
evidente compromiso ontológico amén de que muchos temas ontológicos
tradicionales reciben su tratamiento filosófico en la gnoseología, continuación
de la ontología por otros medios. Puesto que la ciencia no se concibe tanto
como conocimiento de la realidad externa a ella cuanto como una realidad más en
relación con el resto de realidades. En esta gnoseología constructivista, se
subraya el aspecto operativo de las ciencias, pues éstas no se conforman con el
análisis o la explicación de los términos de su campo, sino que establecen
relaciones entre ellos y efectúan operaciones que reconducen internamente, de
forma necesaria y no gratuita, a otros términos del mismo, en virtud de la
naturaleza material misma de cada campo, que impone restricciones a la
multiplicidad de términos y combinaciones posibles. Así pues, la unidad de una
ciencia es la unidad que va estableciéndose en el mismo proceso operatorio,
cuando el sistema de operaciones es cerrado…El cierre categorial viene referido
al sistema de operaciones, no a cada operación por separado.
Este materialismo
gnoseológico constructivista implica entender la relación forma/materia según
el esquema diamérico de los conceptos conjugados de acuerdo con el cual la
forma lógica no es un orden sobreañadido a la materia, sino la interconexión
misma de las partes materiales diversas.
Para este materialismo, en
rigor, no existen las mal llamadas ciencias formales. El privilegio de la forma
no se debe a ningún significado oculto o platónico, sino a la sencillez
tipográfica de los signos que constituyen la materia de tales ciencias. El
acoplamiento entre descripción y teoría es en estas ciencias más interno que en
ninguna otra. En rigor, no vale la distinción entre ciencias formales
(supuestamente tautológicas) y empíricas (de hechos), porque toda ciencia es
material. De ahí que no sólo resulta posible hablar de juicios sintéticos a priori
al modo kantiano, sino que, estrictamente hablando, no existen identidades
analíticas independientes de las identidades sintéticas, que constituyen los
auténticos principios de cierre de toda disciplina científica. La racionalidad
humana es corpórea. El sujeto gnoseológico por antonomasia es el sujeto
operatorio que incluye los fenómenos y las operaciones. Dice Gustavo Bueno a
este respecto enlazando con la lógica: “La escala en la que aparece la
racionalidad y la logicidad es, suponemos, la escala de nuestro cuerpo, de
nuestras manipulaciones (de nuestras “operaciones quirúrgicas”) Y aquí
pondríamos el privilegio de las “ciencias formales” (frente a las ciencias
reales), su llamado apriorismo, que no haríamos consistir tanto en su vaciedad
(en la evacuación de todo contenido, en el “no referirse a la realidad”) cuanto
en su materialidad artificiosa (combinatoria de elementos discretos) en su
condición de metros solidarios a nuestro cuerpo manipulador, que no podemos
menos de “llevar siempre con nosotros” cuando nos enfrentamos con el
mundo. Traduciendo la fórmula kantiana:
es nuestro cuerpo operatorio (no nuestra “mente”, o nuestro “Ego”) aquello que
acompaña siempre a todas nuestras “representaciones” racionales.”[21]
Es
menester distinguir entre gnoseología general y gnoseología especial. Ambas se
realimentan entre sí. La gnoseología general se divide en analítica y
sintética. La primera toma como hilo conductor en su análisis metacientífico al
lenguaje, puesto que el lenguaje representa, pero no agota, la estructura
lógica y objetiva de las ciencias. Distinguimos tres ejes lingüísticos, sobre
los que se distribuyen las partes formales de las diversas ciencias: sintaxis,
semántica y pragmática. El eje semántico se divide en tres secciones:
fisicalista, fenomenológica y ontológica o esencial. El eje sintáctico queda
distribuido en otras tres secciones: la sección de los términos, relaciones y
operaciones. El eje pragmático en la sección autológica, dialógica y normativa.
La gnoseología sintética acude a la lógica y a la matemática para utilizarlas
como patrón o metro aplicable por recurrencia a las otras ciencias.
3.1. Sobre
la Ontología de los objetos matemáticos.
El
materialismo filosófico se ocupa ontológicamente como materialismo ontológico
de los objetos matemáticos y de su naturaleza en el seno de una ontología
materialista trimembre procedente de Chr. Wolff pero que ha tenido en cuenta el
giro copernicano trascendental de Kant.
El
materialismo ontológico distingue entre ontología general que se ocupa de la
materia ontológico-general (M) y ontología especial que se ocupa del Mundo
(Mi), el cual se expresa empírico trascendentalmente y comprendiéndolos en Tres
Géneros de Materialidad {M1, M2, M3} M1 comprende todos los objetos espaciales
y temporales, físicos externos. M2 todos los objetos temporales internos,
subjetivos y M3 todos los objetos ideales y abstractos, atópicos y acrónicos
entre los que se encuentran las Matemáticas y la Lógica. Estos objetos no son
ni internos ni externos.
M3
tiene una consistencia ontológica propia por sí mismo independientemente de ser
pensado o no y tiene internamente una legalidad necesaria. Es el resultado de
las mediaciones producidas entre M1 y M2. Para no caer en el idealismo o en el
formalismo, Bueno formula la teoría del materialismo formalista o del
formalismo materialista. Resulta que los signos tipográficos de la lógica y de
la matemática son los términos fisicalistas de estas dos ciencias. Mediante su
manipulación operatoria se obtiene el cierre categorial correspondiente que
puede ser exportado a otras ciencias o categorías y servir de patrón de medida
en función de su mayor transparencia, operatoriedad y simplicidad. Las reglas
de la matemática son así pues, reglas operatorias que versan sobre materiales
físicos corpóreos en un espacio de dos dimensiones. Un materialista no puede
admitir la existencia de formas separadas de la materia. La matemática y la
lógica son entonces ciencias particulares que se construyen operatoriamente y
tienen una base fisicalista como cualquier otra ciencia. En el caso de la
matemática, signos tipográficos de tinta sobre el papel en el que se escribe de
izquierda a derecha y de arriba abajo. La matemática es la ciencia de un mundo
con temperatura media de 15º a 20º C. A 10.000ºC la axiomática de David Hilbert
desaparece. Nada de ciencias de formas ideales separadas en un cielo platónico
en sí y para sí.
3.2.
Algunas observaciones sobre
la Aritmética.
Ya sabemos por lo
anteriormente dicho que según la teoría del cierre categorial, una ciencia no
queda definida por su objeto formal, sino por una multiplicidad de objetos. La
ciencia es así un conjunto de partes heterogéneas, de partes formales cuya
unidad debe ser determinada mediante operaciones desde su interior a traves de
los nexos que enlazan esas partes. El campo de una ciencia estará compuesto por
clases diferentes de términos unidos o conectados unos con otros en relaciones
de sinexión, esto es, unión de términos diversos de forma necesaria. No sólo
hay relaciones de semejanza o identidad, sino de diversidad o de sinexión.
En Matemáticas, una clase a puede estar formada por el
conjunto de las series (convergentes, divergentes, oscilantes, finitas,
infinitas, etc.) y una clase b por el conjunto de los números (naturales, primos, etc.) respecto de
unas u otras series. Entre esas clases median relaciones de sinexión, por
cuanto que una serie puede venir configurada a través de un proceso operatorio
sobre otra; así por ejemplo, si de la serie de los cuadrados de los enteros 0²,
1², 4, 9, 16, 25, 36… restamos de cada uno de ellos el anterior, obtenemos la
serie de los impares 1,3,5,7,9,11,…de suerte que la serie de los impares
aparece ahora, no como primitiva, sino como configurada a partir de otra tomada
como primitiva, , y ello en virtud de un proceso operatorio presidido por la
ley (identidad sintética), según la cual la diferencia entre los términos
n-simo y (n-1)-simo de la sucesión de cuadrados es: n²- (n-1)² = 2n-1
Los términos primitivos, en
cuanto dados, constituyen el campo material de la disciplina en cuestión.
Cuando entre ellos se dan ciertas relaciones y operaciones tales que nos
permiten pasar de términos a configuraciones y viceversa, es decir, cuando
queda el campo “cerrado” categorialmente, se constituye la ciencia en cuestión.
Hay disciplinas científicas
más cerradas que otras. El grado de cientificidad de una disciplina corresponde
al grado de su cierre categorial. Además dentro de cada disciplina, unas partes
están más cerradas que otras.
La categoría misma de
“función” era controvertida entre los matemáticos. Bolzano inicia en 1817 el
estudio de las propiedades de las funciones. Examina las diferentes
demostraciones del teorema fundamental del álgebra: “toda función algebraica
racional de una variable puede ser descompuesta en factores reales de primer o
de segundo grado”. Todas las pruebas (desde la primera ofrecida por Gauss en
1799) caen en la alternativa: círculo vicioso o recurso a la intuición
geométrica. Para escapar a ésta busca
Bolzano un “fundamento objetivo” en las definiciones. Y, así, pasa a ofrecer la
definición de continuidad en sentido moderno; definición que será perfeccionada
por Weierstrass. En esta definición, como en la demostración del teorema que
establece la existencia de ceros en las funciones continuas [si f(x) es
continua en el intervalo [a,b] y en los extremos toma valores f(a) y f(b) de
signos opuestos, entonces f(x) posee al menos un valor igual a cero entre a y
b], Bolzano apela a categorías aritméticas; y, como Bolzano, también Cauchy
fundamenta el concepto de límite en consideraciones estrictamente aritméticas.
Y, finalmente, con Dedekind [Stetigkeit und irrationale Zahlen (1872)] culmina
el proceso llamado “aritmetización del análisis”. Mediante el procedimiento de las “cortaduras”
establece una fundamentación teórica definitiva de los números reales,
reconstruyendo éstos a partir de los racionales y, por tanto, a partir de los
naturales (ya que los racionales son fácilmente definibles en términos de los
naturales). Con todo ello el Análisis (cálculo diferencial e integral) puede
ser tratado en términos de números naturales y su aritmética, mostrando así la
posibilidad de reconstruir la matemática sobre la base de un reducido número de
categorías elementales de la Aritmética. Pero culminada esta etapa, este
“cierre aritmético”, otra nueva emprenden Dedekind y Frege a partir de 1880: la
tarea logicista de fundamentar la Aritmética reconstruyendo sus categorías
sobre categorías lógicas.
A partir de aquí parece
pertinente aplicar la gnoseología del cierre categorial a la Aritmética.
Con la aritmetización del
análisis, muchos matemáticos creyeron haber obtenido la rigorización y
fundamentación de las Matemáticas. Estas quedaban “cerradas” aritméticamente;
podían ser construidas desde categorías únicamente aritméticas. Dedekind y
Frege proyectan reconstruir las categorías aritméticas desde categorías
lógicas. Vamos a analizar las alternativas posibles sobre los contenidos de la
Aritmética. Consideraremos que en la estructura aritmética hay tres componentes:
los sujetos, los objetos y el lenguaje.
Nadie pondrá en duda que los
sujetos son componentes indispensables de la aritmética. Sin la presencia de
tales sujetos no habría Aritmética.
Tampoco se dudara de la
necesidad de los objetos. Sin objetos no habría Aritmética.
Respecto al lenguaje como
componente esencial de la Aritmética hay que decir que la Aritmética como las
demás ciencias está vinculada al lenguaje. Consideramos aquí que sin lenguaje
no podría ser pensada la racionalidad científica, si bien esta racionalidad no
se reduce al marco estrictamente lingüístico. El lenguaje es imprescindible en
la Aritmética. Sin lenguaje no habría Aritmética puesto que la Aritmética se
expresa en fórmulas lingüísticas. Las fórmulas de las ciencias formales llevan
en su propia suppositio materialis, en su ser significantes, su propio
contenido material, su propio significado. Los símbolos lógicos, matemáticos,
constituyen el propio contenido material y llevan incluidas estructuras lógicas
y matemáticas particulares.
3.3.
Teorías sobre la Aritmética.
Podemos distinguir tres
clases de teorías sobre la Aritmética siguiendo la distinción arriba trazada
entre los tres componentes de la Aritmética: sujetos, objetos y lenguaje.
A) Teorías que ponen la
Aritmética en el lado del sujeto sea éste empírico (psicologismo), sea el
sujeto “trascendental” (trascendentalismo).
El psicologísmo hunde sus
raíces en ciertas definiciones de Aristóteles que hacen descansar los axiomas
en la evidencia. El psicologismo consiste en afirmar que las leyes de la lógica
o de la Aritmética derivan del psiquismo humano, del cerebro, de la psicología,
del pensar subjetivo. Uno de los psicologistas que luego llegó a criticar
duramente el psicologismo fue el propio Husserl en su “Filosofía de la Aritmética”
(1891), antes de conocer la crítica de Frege al psicologismo.
Boole pensaba que su álgebra
reflejaba las leyes del pensar humano. Si la ley “de dualidad” es x² =x y no x³
=x, es porque nuestro pensamiento a decir de Boole, funciona por dicotomías y
no por tricotomías.
También para Mill, las leyes
de la Aritmética se basan, bien en la experiencia familiar, bien en un viejo y
familiar hábito de pensar. Su psicologismo va unido a su empirismo. Las
verdades de la Aritmética son evidencias sensoriales; simples generalizaciones
inductivas realizadas a partir de hechos observados; esas verdades nos son
conocidas por la primitiva y constante experiencia.
El psicologismo empirista de
Mill fue triturado por Frege en sus “Fundamentos de la Aritmética”, obra en la
que también ataca el subjetivismo tascendental kantiano. Kant, como ya vimos,
entiende el método matemático como construcción del sujeto trascendental en la
intuición pura. Los juicios aritméticos tales como 7+5=12 son sintéticos a
priori; los conceptos que los componen vienen dados en la intuición y por lo
tanto son a priori: “todo conocimiento matemático tiene esta peculiaridad:
debe, primero, exhibir sus conceptos en la intuición y hacerlo así a priori; en
una intuición que no es empírica, sino pura; sin esto las matemáticas no pueden
dar un paso”.[22]
Para Kronecker toda
operación sobre entes matemáticos, y principalmente sobre números naturales
encuentra su fundamento en la intuición; ni la teoría de conjuntos, ni la
construcción de los números reales, ni (en el fondo) ninguna construcción
matemática puede basarse en el infinito actual.
Poincaré entiende la
intuición como una facultad innata, una especie de “adivinación” o una
“iluminación súbita que invade el espíritu del matemático y que permite la
invención matemática”.[23]
“Una demostración matemática no es una simple yuxtaposición de silogismos, son
silogismos colocados en un cierto orden, y el orden en el cual están colocados
estos elementos es mucho más importante que ellos mismos”. A través de la
intuición de ese orden tenemos todos los elementos y “esta intuición del orden
matemático es la que hace al matemático adivinar las armonías y las relaciones
ocultas”.[24]
El intuicionismo de Brouwer
y Heyting, por su parte, constituye una de las alternativas más sólidas a la
fundamentación de la Matemática. “La Matemática, según Heyting, se identifica
con la parte exacta de nuestro pensamiento”; y también: “La Matemática
intuicionista consiste en construcciones mentales”[25]
“el pensamiento matemático no nos proporciona verdad alguna acerca del mundo
exterior, sino que sólo se ocupa de construcciones mentales” y “la matemática
intuicionista es un fenómeno de la vida, una actividad natural del hombre”.[26]
Los intuicionistas reclaman
el criterio cartesiano de verdad: la evidencia. Mientras que los formalistas en
su axiomática formal evitan todo recurso a evidencias no controladas y
renuncian a apoyarse en representaciones sensibles para figurar objetos
ideales, los intuicionistas fijan las entidades matemáticas (los números naturales,
por. Ej.) “valiéndose de una representación material: a cada entidad de la
construcción de x le asocia, p. Ej., un punto que marcamos sobre un papel”.[27]
Y para Brouwer “la
matemática es una actividad mental no lingüística, que tiene su origen en el
fenómeno fundamental de la percepción de un fluir del tiempo. Fluir que es el
rompimiento de un momento de vida en dos cosas distintas, una de las cuales
cede el paso a la otra, pero es retenido por la memoria. Si la bi-unidad así
originada viene despojada de todo contenido cualitativo, queda el sustrato
común a toda la bi-unidad, la creación mental de la bi-unidad abstracta.”[28]
Para los intuicionistas,
entonces la construcción matemática debe basarse exclusivamente sobre los
números naturales y éstos, a su vez, sobre los conceptos de individuación
singular y de repetibilidad. En primer lugar, el acto mental de aislamiento que
constituye la realización de una bi-unidad. Tal aislamiento singular queda
posibilitado por la intuición primaria del fluir del tiempo; intuición a priori
en el tiempo entendida al modo kantiano y en segundo lugar, el acto mental de
repetir un número finito de bi-unidades las cuales (1) deben ser ordenadas con
respecto al tiempo en que vienen realizadas; y (2) deben ser tales que sus tiempos
de realización no se superpongan ni siquiera en parte.
Falta
saber qué entienden los intuicionistas por intuición. Habría que exponer para
ello detalladamente el planteamiento gnoseológico de la metodología matemática
intuicionista, pero no es nuestro propósito abordar tal extremo en el presente
escrito expositivo de la filosofía de la matemática y, en particular, de la
Aritmética.
B) Teorías que ponen la
Aritmética en el lado del objeto: sean los objetos empíricos (empirismo), sean
los objetos ideales (idealismo).
El empirismo de Mill ha sido
duramente criticado por Frege. Las verdades matemáticas son para Mill verdades
experimentales: se basan en la observación y en la experiencia[29];
y las ecuaciones matemáticas pueden ser consideradas como definiciones; por
ejemplo, la ecuación “3=2+1” puede ser considerada como la definición del
número tres; pero tales definiciones dependen, en realidad, de hechos empíricos
que son establecidos por experiencia e inducción. Esto no obedece según Frege a
un procedimiento racional, sino a un método que no puede ser más
antimatemático: el empirismo de Mill concibe los números como configuraciones
de objetos físicos que impresionan los sentidos con las imágenes de unas u
otras descomposiciones de colecciones dadas; mas ¿qué objetos físicos están en
la base del número cero?
Entre las teorías
objetivistas empíricas más conocidas que sitúan la Aritmética en la esfera de
la física están ciertas corrientes del “Círculo de Viena” que desarrollan el
empirismo que aflora en el Tractatus Logico-Philosophicus, de Wittgenstein. Las
proposiciones de la Lógica y de la Matemática se reparten en dos clases: las
proposiciones atómicas que no son más que protocolos de observación de datos
sensoriales inmediatos y que forman el espejo del mundo y las proposiciones
moleculares que por el contrario, son funciones de verdad de las primeras y
pueden ser verificables sobre la base de las leyes del pensamiento.
También Russell sigue el
empirismo en algunas etapas del desarrollo de su pensamiento, especialmente en
la primera etapa de su producción literaria; en su Ensayo sobre los fundamentos
de la geometría” (1897), distingue dos clases de axiomas: (a) los que expresan
las condiciones de la experiencia y (b) los que son tomados de la experiencia,
los cuales son leyes empíricas, obtenidas como las leyes empíricas de otras
ciencias, a través del estudio positivo del objeto (§ 177).
Hay otras teorías
objetivistas pero idealistas. Los objetos matemáticos son entidades ideales en
sí mismas independientes de todo lenguaje y del hombre.
Para empezar podríamos
señalar a Platón en la Antigüedad clásica. En la época moderna tenemos a
Leibniz por su doctrina de la distinción entre verdades de razón y verdades de
hecho. La lógica y la matemática son verdaderas en todo mundo posible
(Wittgenstein y el Círculo de Viena dirían que son tautologías). Seguidor de
Leibniz fue Bolzano, quien sostiene el carácter objetivo e ideal de la
matemática. La Matemática es una ciencia conceptual a priori, al igual que la
Lógica y la Metafísica; es “la ciencia de las leyes (formas) universales a las
que deben ajustarse las cosas en su modo de existencia”.[30],
en donde “leyes” significa las condiciones de posibilidad de las cosas.
Las dos obras fundamentales
de Bolzano: la Wissenschaftslehre (1833) y las Paradoxien des Unendlichen
(publicadas póstumamente, en 1851) constituyeron dos firmes bases del
objetivismo ideal en Matemáticas. Las Paradoxien des Unendlichen constituyen el
punto de partida para las investigaciones de Cantor sobre el infinito
matemático y sobre los conjuntos. En la Wissenschaftslehre encuentran los
fenomenólogos, Brentano, Meinong y Husserl varias tesis que configuran su
teoría sobre la Matemática.
Husserl, siguiendo a
Brentano, sostiene que todos los actos mentales son intencionales; los objetos
intencionales son ideales, distintos de los objetos reales y esta esfera real
es la propia de la lógica pura y la aritmética; éstas “como ciencias de las
individualidades ideales de ciertos géneros, o de lo que se funda a priori en
la esencia ideal de estos géneros, separánse de la psicología, como ciencia de
los ejemplares individuales de ciertas clases empíricas”.[31]
Y “las leyes aritméticas, lo mismo las numéricas o aritmético-singulares que
las algebraicas o aritmético-generales, se refieren a esas individualidades
ideales (especies ínfimas en un sentido señalado, que es radicalmente distinto
de las clases empíricas). No enuncian absolutamente nada sobre lo real, ni
sobre lo que se cuenta, ni sobre los actos reales en que se cuenta… Tratan pura
y simplemente de los números y de sus combinaciones, en su pureza e idealidad
abstractas…Son leyes que se fundan puramente en la esencia ideal del género
número. Las últimas individualidades que caen bajo la esfera de estas leyes son
ideales.”[32]
El más firme sostenedor del
carácter objetivo-ideal de la Lógica y de la aritmética es Frege, para quien
los axiomas de la Lógica (y de la aritmética a ellos reducibles) emanan de ese
mundo ideal e invisible, de un “tercer reino””, que no es ni el de los objetos
del mundo exterior, ni el de las representaciones subjetivas. No son hipótesis,
sino principios verdaderos, necesarios, inmutables y únicos; hay juicios verdaderos independientemente del
hecho de que los individuos humanos los efectúen o no. Esas proposiciones
primitivas (los axiomas) no pueden por sí mismos probar su validez ni indicar
su origen. Están ahí; y, cuando juzgamos, no podemos rechazarlos[33].
Y es posible acceder a los objetos de ese tercer reino, aunque, ciertamente, no
a través de la sensibilidad: por eso rechaza Frege la tesis de Kant de que sin
la sensibilidad no nos sería dado ningún objeto: el cero, el uno, son objetos
que no nos pueden venir dados por los sentidos, sino que “son dados
directamente a la razón, la cual los puede contemplar como lo más propio de sí
mismo…No hay nada más objetivo que las leyes aritméticas.”[34]
Así, por ejemplo, el teorema de Pitágoras es “intemporal”; o también: “que 3
cae bajo el concepto de número primo es una verdad objetiva; cuando la expreso
no quiero decir que encuentro en mí una idea que llamo “tres” y otra que llamo
“número primo”, y que estas dos ideas se relacionan. Hablar así sería amputar
el verdadero sentido de dicha frase…Lo mismo pasaría si, en lugar de decir:
“encuentro en mí estas ideas”, dijese: “construyo en mí estos conceptos”,
porque tampoco ahora daríamos cuenta más que de un proceso interior, en tanto
que nuestra frase tiende a afirmar algo que fue y será siempre objetivamente
válido, independientemente de nuestra vigilia y de nuestro sueño y con
indiferencia con respecto al hecho de que haya habido o vaya a haber individuos
para reconocer, o no, esta verdad.”[35]
En “Introducción a la
Filosofía Matemática” (1919). Bertrand Russell se adhiere a estas tesis de
Frege. Defiende la identidad entre Matemática y Lógica, y reta a quien opine lo
contrario a que indique en qué punto de las sucesivas definiciones y
deducciones de sus Principia Mathematica acaba la Lógica y empieza la
Matemática. Es imposible, según Russell, trazar una línea entre las dos; las
dos son, efectivamente, una misma cosa. Los contenidos de la Lógica y la
Matemática no son cosas particulares ni propiedades particulares, sino que son
las formas. Las verdades de la Matemática para Russell son universalmente
válidas y necesarias en todos los mundos posibles. Subsisten al margen de lo
que ocurra en el mundo real. Además constituyen las leyes de los estados de
cosas, de manera que la matemática y en último término la Lógica a la que
aquella se reduce, constituyen “el alfabeto del libro de la vida”, la imagen
del mundo, la cosmología.
C) Teorías que sitúan la Aritmética en el lado del lenguaje,
sea éste entendido como descriptivo, sea entendido como convencional.
Carnap expone en Meaning and Necessity (1947)
una teoría lingüística en donde se junta la tradición del positivismo lógico y
la tradición wittgensteiniana; allí el campo de la Matemática es el de los
enunciados analíticos; y analítico equivale a verdadero, a priori. El concepto
de verdad empleado por Carnap (“L-verdadero”) es un concepto que se define
respecto de un lenguaje. Dado un sistema lingüístico en el que el vocabulario
de predicados primitivos y constantes individuales permita ofrecer una
especificación de los enunciados atómicos del sistema. Una clase de enunciados
del sistema dado es denominado descripción de un posible estado en el sistema
si contiene para cada enunciado atómico o bien ese enunciado o bien su
negación, pero no ambos ni otros. Se ofrece además un conjunto de reglas que
determinan si un enunciado es verdadero en una determinada descripción de
estado. Y a partir de ahí se define la verdad así: Un enunciado es
“L-verdadero” en el sistema si es verdadero para toda descripción de estado en
el sistema.
También
Carnap fue convencionalista matemático y lógico. En “Logische Syntax der
Sprache” (1934) enuncia el llamado “principio de tolerancia”, según el cual no
existen unas leyes lógicas privilegiadas sobre otras, porque los sistemas
lógicos son sistemas lingüísticos y todo lenguaje posee sus propias reglas
sintácticas, y cada cual es libre de expresarse en el lenguaje que desee, con
tal de especificar el ámbito y la sintaxis.
Han
sido los formalistas quienes de forma más sistemática han desconectado la
Lógica y la Matemática de los contenidos objetivos y de los subjetivos
retrotrayéndolos al plano simbólico (formal) (al lado del lenguaje). Los
formalistas (Hilbert, Bernays, von Neumann, Zermelo,) han tratado a la
Matemática como a una teoría axiomática formal y han intentado demostrar que
dicha teoría está exenta de contradicciones. Este proyecto formalista recibe el
nombre de “metamatemática” o Beweistheorie (Teoría de la prueba), desarrollada
por Hilbert entre 1904 (Über die Grundlagen der Logik und der Arithmetik) y
1918 (Axiomatisches Denken). “Debemos el concepto de metamatemática a Hilbert.
Correspondiendo vagamente al venerable término “metafísica”, la
“metamatemática” vendría a ser una ciencia cuyo objeto habría de buscarse en el
conjunto de la matemática. Ahora bien, esta metamatemática no sería una disciplina
filosófica, a diferencia de la metafísica, sino matemática, una teoría
matemática.”[36] En
la axiomática formal todos los componentes subjetivos (las intuiciones, las
evidencias) así como toda referencia a un orden de objetos o de significados
exteriores al sistema han de quedar eliminados. El sistema lo es de símbolos de
varios tipos y el sentido de los símbolos queda precisado por las condiciones
de su empleo.
Como antecedentes del formalismo de Hilbert están
Hankel (Theorie der complexen Zahlensysteme (1867) y J. Thomae (Elementare
Theorie der analytischen Funktionen einer complexen veränderlichen (1898). Para
éste último la aritmética es un juego con signos que se dicen vacíos; no poseen
otro contenido que el que les es asignado por su comportamiento respecto a las
reglas de juego.
Esas
reglas del juego son en el sistema de Hilbert los “axiomas”. Los axiomas son
para Hilbert “definiciones impícitas” y los términos que designan los elementos
primitivos pueden ser considerados como variables libres. Así, en su
axiomatización de la Geometría, dice Hilbert que pudo haber escrito “silla”,
“mesa” y “vaso” en lugar de “punto”, “recta” y “plano”. Precisamente en esta
formalización reside, según él, el paso de la axiomática “intuitiva” a la
axiomática “formal”, de manera que a un sistema de fórmulas corresponde una
pluralidad de interpretaciones, lo que significa admitir la posibilidad de que
los signos que figuran en esas fórmulas o los signos en general tengan
múltiples denotaciones y múltiples sentidos (multivocidad=Vieldeutigkeit) de
los signos. En la axiomática formal los objetos de la teoría estudiada y las
relaciones que entre ellos se establecen son expresados por símbolos
desprovistos de toda significación. Reciben, solamente de una forma implícita,
su determinación a través de los axiomas, de modo que “en todas sus
consideraciones la axiomática formal no utiliza más que relaciones primitivas
que las formuladas expresamente por los axiomas”.[37]
El
método axiomático, nacido con Euclides y perfeccionado por Hilbert, se
convierte en dogma para el bourbakismo. “El método axiomático –dice Bourbaki[38]-
aplicado a entes matemáticos complejos, permite disociar de ellos sus
propiedades y agruparlos en torno a un pequeño número de nociones, esto es,
clasificarlos siguiendo las estructuras a las que pertenecen (bien entendido
que una misma estructura puede intervenir a propósito de entes matemáticos
diversos)”. En este sentido, una vez establecido el concepto de “estructura” a
través del de “sistema formal axiomático”, las Matemáticas quedarán
clasificadas de acuerdo con los diversos tipos de estructuras.
3.4.
Análisis gnoseológico de la
Aritmética.
La teoría del cierre
categorial pretende escapar al reduccionismo, integrando los tres componentes
necesarios a toda ciencia, analizados gnoseológicamente, estableciendo tres
ejes de coordenadas (partiendo de las tres dimensiones del lenguaje según
Bühler-Morris): ejes sintáctico, semántico y pragmático, juntamente con sus
secciones.
La Matemática, junto con la
Lógica constituyen las llamadas “ciencias formales” en oposición a las
“ciencias naturales” y a las “ciencias humanas”. Según el análisis efectuado
desde el materialismo gnoseológico, las “ciencias formales”, como toda ciencia,
exigen que su construcción sea con términos físicos y con operaciones
realizadas sobre esos términos físicos, de manera que necesariamente han de
incluir en su construcción la sección fisicalista del eje semántico. Esto
significa que la Lógica y la Matemática son ciencias no formales, sino materiales.
Esto significa una crítica al formalismo de Hilbert. No es admisible un
formalismo que deja a las fórmulas matemáticas o lógicas vacías de significado,
de referencia y de todo sentido. El formalismo sólo es posible en el sentido de
la evacuación de toda interpretación que no esté contenida en el ejercicio de
sus significantes. “El materialismo formalista –dice Bueno[39]-
reconoce a los símbolos un contenido material, a saber, la propia entidad de
sus significantes y toda la estructura geométrica (ordenaciones, permutaciones
a derecha e izquierda, etc.) que en su propia realidad de significantes ha de
ir implicado”. Y ello es así porque los signos de las fórmulas matemáticas o
lógicas son autogóricos.
Llama
así Bueno a los signos que son, a la vez, autónimos y tautogóricos. Un signo es
denominado autónimo, si su significado es “causa” del significante qua tale, de
manera que resulte un significante semejante (y precisamente según un contenido
material de semejanza recortado en el proceso mismo) al significado. El
significante resultará ser, así, parte lógica del significado, como en los
símbolos autorreferentes.
Un
signo es denominado tautogórico, si el significante es causa (con-causa) del
significado, sin que por ello éste deba ser semejante a aquél, siendo la
situación límite el signum sui, en donde el significante nos remite ordine
essendi al significado.
Cuando
el signo es, a la vez autónimo y tautogórico es denominado autogórico. “La
flecha del tiempo –dice Bueno[40]-
podría valer como ejemplo de signo autogórico si suponemos que ella significa
el tiempo en virtud del mismo movimiento (=tiempo) significado que le conforma
como significante,…en virtud del movimiento de la mano de quien la traza o
acaso del movimiento del ojo de quien, recorriéndola precisamente en un
sentido, la percibe.”
Los
signos de la Matemática y de la Lógica serían, según esto, autogóricos. En su
propia suppositio materialis van incluidas las estructuras matemáticas,
lógicas, que pueden darse ordinariamente al margen de los significantes, pero
que son ya sus significados. Estos signos, lejos de haber eliminado su
referencia semántica la tienen incorporada en su misma entidad de signos (de
significantes en cuanto coordinables con otros).
En
la igualdad algebraica:
(a+b)²
=a²+2ab+b²
las letras no son variables libres
(susceptibles de figurar como emblemas de entidades tipográficas), sino que
figuran como indeterminadas, cuya determinación (significado) está contenida
(le viene dada) en su propia entidad de signos: a², al margen de su valor como
esquema o modelo respecto de otros contenidos materiales, viene determinada por
las operaciones a las que queda sometida el álgebra de los propios
significantes algebraicos, por cuanto que el sistema de símbolos algebraicos
reproduce él mismo la estructura autológica de otros sistemas fisicalistas y,
en particular, el enclasamiento de todos los símbolos.
Se
niega que la Matemática o la Lógica sean la Teoría General de las estructuras
del Mundo. La Matemática es una ciencia particular: construcción de un campo
cerrado de dos dimensiones sometido a unas estructuras geométricas
(ordenaciones, leyes de posición, etc.) y físicas (temperatura, color, etc.).
Este campo lleva en sí su propia matemática interna particular y eventualmente
–precisamente por la artificiosidad de sus figuras (símbolos), en cuanto que
han sido construidas y reconstruidas íntegramente por un sujeto operatorio-
puede ser utilizado como metro para analizar otro tipo de relaciones soportadas
por otro tipo de materialidades. De modo que la conexión entre Matemáticas (o
Lógica) universal, pura, formal, y las matemáticas (lógicas) particulares no es
una conexión de tipo género (todo) a especie (parte), sino, más bien, de
especie (parte) a especie (parte).
El
formalismo de Hilbert y Bourbaki es metafísico y formula un esquema de conexión
metamérica entre materia y forma.
El
materialismo formalista postula un esquema diamérico de conexión entre materia
y forma. Preparado uno de los términos en partes extra partes, el otro término
constituye la relación entre las partes del primero. En nuestro caso, partimos
de la pluralidad de contenidos materiales que se relacionan entre sí de
diferentes maneras.
Este
esquema de conexión diamérica permite recuperar el hilemorfismo despojado de
sus adherencias metafísicas que comporta siempre que se entienda la materia
como pudiendo darse sin forma alguna, o la forma como pudiendo existir sin la
materia. Se niega así que haya sistemas formales desvinculados de todo
contenido o materia, abstractos o independientes de todo contenido exterior a
sus símbolos. Las fórmulas algebraicas no son fórmulas vacías, ya que si bien
son independientes de todo contenido exterior a sus símbolos, llevan su
referencia y su significado en su misma materialidad tipográfica, sujeta a
manipulaciones y relaciones precisas. La Matemática se presentará como un
sistema particular de significantes tipográficos, como una construcción con
términos físicos (los propios símbolos matemáticos), entre cuyos términos
median relaciones materiales (de semejanza, de distancia, de posición) y
operaciones características dadas dentro de configuraciones o contextos
determinantes.
La
construcción científica se diferencia de otras construcciones porque obedece a
principios internos al propio campo material categorial de la ciencia en
cuestión. Y esos principios internos, gnoseológicos, no son otra cosa que el
desarrollo de los términos del campo, en tanto que estos términos aparecen en
ciertas configuraciones –contextos determinantes- que resultan más o menos
fértiles para la reconstrucción de los términos del campo –contextos
determinados-, para la construcción de esquemas de identidad (verdades
internas).
Determinadas
leyes o teoremas serán principios internos a la Matemática, cuando resultan
necesarias para la subsistencia del propio campo de términos matemáticos; y no
sólo necesarios, sino que constituyen contextos determinantes fértiles. Por
ejemplo:
La
“ley de dualidad”, x² = x, es considerada por Boole como la ley fundamental de
su álgebra. Prescindiendo de las connotaciones psicologistas de la exposición
de Boole, podemos, sin embargo, seguir manteniendo su carácter fundamental
desde un punto de vista gnoseológico, a saber, en la medida en que resulta un
contexto determinante fértil para la reconstrucción del campo categorial del
álgebra booleana. La ley sirve para “cerrar” un campo de términos, y de ahí su
potencia. A partir de ella es posible llegar a otras leyes o principios
(identidades), por ejemplo:
al principio de no contradicción: x² = x
x- x² = 0
x(1- x) =0
Así
mismo, la eliminación de elementos que no se atienen a dicha ley reorganiza el
campo, dando lugar a nuevos principios.
Boole
mismo llama la atención[41]
hacia la circunstancia de que la ecuación en la que se expresa esta ley
fundamental es una ecuación de segundo grado. Podría pensarse, pues –sigue
diciendo- que la existencia de la ecuación x² = x exige la existencia de la ecuación de tercer grado x³=x. De
hecho Boole había admitido esta ley: x=x²=x³=…=xⁿ que denominó “ley del
índice”, y que le permitía obtener su función (función booleana) a partir del
teorema de de Mc Laurin para el desarrollo de una función polinómica f(x): f(x)
= f(0)+ (f’(0)/1!)x + (f’’(0)/2!)x²+ (f’’’(0)/3!)x³+…+(fⁿ(0)/n!)xⁿ+ Tn(x) en donde Tn (x) recibe el nombre de término
complementario, y los coeficientes vienen dados a través de las derivadas
sucesivas de f(x): f ’, f ’’, f ’’’.
Los
principios gnoseológicos aparecen así, como principios materiales en su aspecto
constructivista. Brotando del desarrollo de los términos, reorganizan
internamente el campo categorial. No son meras tautologías. Por ello se rechaza
la caracterización de las verdades matemáticas como tautologías o juicios
analíticos tal y como sostenían Russell, Wittgenstein y el Círculo de Viena.
Finalmente,
el proceso de inducción matemática es el paradigma del proceso de construcción
de las verdades matemáticas entendidas como identidades sintéticas, como
resultado de la confluencia de varios procesos operatorios. Aquí tenía razón
Poincaré respecto a que dicho principio no podía ser considerado como analítico
en cuanto asociado a la deducción.
En
consecuencia las verdades matemáticas son identidades sintéticas y constituyen
un complejo de relaciones y operaciones que aplicadas a términos pertenecientes
a diversas clases anudan a éstos para reconstruir todos (o buena parte) de los
términos del campo categorial considerado.
Bibliografía
utilizada.
Gustavo Bueno Martínez, “Operaciones Autoformantes y heteroformantes.
Ensayo de un criterio de demarcación gnoseológica entre la Lógica formal y la
Matemática”, El Basilisco, 7, 1979, I.
Felipe Giménez Pérez, “El Materialismo Filosófico de Gustavo Bueno:
Ontología y Gnoseología”, Tesis doctoral, Madrid, UNED, 1998.
Stefan Körner, “Kant”, Alianza Editorial, Madrid, 1977.
Javier de Lorenzo. Kant y la Matemática. Tecnos, Madrid, 1992.
Paul Lorenzen, “Metamatemática”, Editorial Tecnos, Madrid, 1971.
Julián Velarde Lombraña, “Teoría del cierre categorial aplicado a las
matemáticas”, en “La filosofía de Gustavo Bueno”, Homenaje a G. Bueno
organizado por la revista Meta., Editorial Complutense, Madrid, 1992.
“Symploké”, Filosofía de 3º de B.U.P., por Gustavo Bueno Martínez,
Alberto Hidalgo Tuñón y Carlos Iglesias Fueyo, Ediciones Júcar, 2ª edición,
Madrid, 1989.
Felipe Martínez Marzoa, “Historia de la Filosofía”, 2 vols. Madrid,
1980, Volumen II, Editorial Istmo.
[1] “Idea de la ciencia desde
la teoría del cierre categorial”, Santander, Universidad Internacional M.
Pelayo, 1976; “En torno al concepto de ciencias humanas”, “El Basilisco”, 2
(1978), 12-46; “El cierre categorial aplicado a las ciencias físico-químicas”,
en Actas del I Congreso de Teoría y Metodología de las Ciencias, Oviedo,
Pentalfa, 1982, pp. 101-175; y otros varios trabajos en “El Basilisco” así como
“Teoría del Cierre Categorial”, Pentalfa, 1992-1993 5 volúmenes publicados
hasta ahora en Pentalfa, Oviedo.
[17] Javier de Lorenzo, “Kant y la matemática”, El uso constructivo de la
razón pura. Tecnos, 1992, Madrid, p. 167.
[18] Se llama logicismo a la pretensión de dar a
la matemática una fundamentación puramente lógica en el sentido de la lógica
simbólica. Los logicistas creen que la realización de esta pretensión haría de
las verdades matemáticas “juicios analíticos” en el sentido de Kant y que por
tanto refutaría a Kant.
[21] Gustavo Bueno Martínez, “Operaciones
autoformantes y heteroformantes. Ensayo de un criterio de demarcación
gnoseológica entre la Lógica formal y la Matemática”, El Basilisco, número 7,
mayo-junio de 1979 I, p. 23.
[31] “Investigaciones lógicas”, traducción de M.
García Morente y José Gaos, Madrid, Revista de Occidente, 1976, p. 154.
[35] “¨Über das Trägheisgesetz” (1890) en Kleine Schriften, Edic. I,
Angelelli, G. Olms, Hildesheim, 1967, p. 122.
[39] Bueno, G.: “Operaciones autoformantes y
heteroformantes. Ensayo de un criterio de demarcación gnoseológico entre Lógica
formal y Matemática, I”, El Basilisco, 7 (1980): p. 29.
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